DISEQUAZIONI CON DUE MODULI
- Disequazioni con valore assoluto
- Risoluzione di disequazioni con valore assoluto
- Disequazioni con valore assoluto e incognita fuori dal modulo
- Disequazioni con due moduli
Continuiamo a vedere come applicare la regola esposta nella lezione 5, e andiamo ad occuparci delle disequazioni nelle quali sono presenti due moduli e un'ESPRESSIONE. In altre parole ci occupiamo di disequazioni del tipo
|A(x)| + |B(x)| ≥ k
oppure
|A(x)| + |B(x)| ≤ k
e ancora
|A(x)| + |B(x)| ≥ C(x)
oppure
|A(x)| + |B(x)| ≤ C(x).
Chiaramente, le regole che andremo a vedere, valgono anche nei seguenti casi:
|A(x)| - |B(x)| ≥ k
oppure
|A(x)| - |B(x)| ≤ k
e ancora
|A(x)| - |B(x)| ≥ C(x)
oppure
|A(x)| - |B(x)| ≤ C(x).
Prendiamo come esempio la seguente disequazione:
|x| + |x - 2| > 6x.
Procediamo, così come abbiamo già avuto modo di vedere nelle lezioni precedenti, STUDIANDO il SEGNO di ogni espressione presente all'interno dei due moduli. Quindi poniamo:
x ≥ 0
e
x - 2 ≥ 0.
Quest'ultima espressione equivale a scrivere
x ≥ 2.
RIPORTIAMO i RISULTATI ottenuti sul solito GRAFICO:
Scriviamo, come di consueto, i nostri tre sistemi (per una spiegazione più estesa si rimanda a quanto detto nelle lezioni precedenti):
Risolviamo i tre sistemi.
Primo sistema:
Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:
La soluzione del primo sistema è data dalle
x < -1/3.
Secondo sistema:
Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:
E' evidente che il sistema non ammette soluzioni.
Terzo sistema:
Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:
Anche questo sistema non ammette soluzioni.
Quindi, il risultato del nostro sistema è
x < -1/3.
Facciamo ora una precisazione. Nei casi nei quali la nostra disequazione assume la forma:
|A(x)| + |B(x)| ≥ k
oppure
|A(x)| + |B(x)| ≤ k
la disequazione si potrebbe risolvere anche in altro modo, senza ricorrere al metodo qui illustrato: ne parliamo in un apposito approfondimento.
Concludiamo questa lezione dicendo che il metodo sin qui visto si applica anche nel caso in cui, nella disequazione sono presenti tre o più moduli. Quindi, in disequazioni del tipo:
A(x)| + |B(x)| ≥ |C(x)|
oppure
|A(x)| + |B(x)| ≤ |C(x)|
e ancora
A(x)| + |B(x)| + C(x) ≥ D(x)
oppure
|A(x)| + |B(x)| + C(x) ≤ D(x)
e così via.
Chiaramente, a primo membro, anziché avere la somma di più moduli, potremmo avere la loro differenza (o i segni + e - potrebbero essere variamente combinati) e non cambierebbe nulla rispetto a quanto abbiamo detto fin ora.
