DISEQUAZIONI CON DUE MODULI
- Disequazioni con valore assoluto
- Risoluzione di disequazioni con valore assoluto
- Disequazioni con valore assoluto e incognita fuori dal modulo
- Disequazioni con due moduli
Continuiamo a vedere come applicare la regola esposta nella lezione 5, e andiamo ad occuparci delle disequazioni nelle quali sono presenti due moduli, del tipo
|A(x)| |B(x)|
oppure
|A(x)| ≤ |B(x)|.
Esempio:
|2x - 3| ≤ |3x - 4|.
Come abbiamo visto nelle lezioni precedenti, la prima cosa da fare è STUDIARE il SEGNO di ogni espressione presente all'interno dei vari moduli. Quindi poniamo:
2x - 3 ≥ 0
e
3x - 4 ≥ 0.
Da cui avremo
2x - 3 ≥ 0
2x ≥ 3
x ≥ 3/2
e
3x - 4 ≥ 0
3x ≥ 4
x ≥ 4/3.
RIPORTIAMO i RISULTATI ottenuti sul solito GRAFICO:
Nel grafico risultano individuati tre intervalli. Quindi scriviamo un sistema per ogni intervallo.
Quando
x < 4/3
entrambe le espressioni sono negative. Quindi:
- (2x - 3 ) ≤ - (3x - 4).
Il primo sistema da risolvere, quindi, è:
Quando
4/3 ≤ x < 3/2
l'espressione 2x - 3 è negativa, mentre l'espressione 3x - 4 è positiva o nulla. Quindi la nostra disequazione diventa:
- (2x - 3 ) ≤ 3x - 4.
Il secondo sistema da risolvere, quindi, è:
Infine, quando
x ≥ 3/2
entrambe le espressioni sono positive o nulle, di conseguenza la disequazione diventa:
2x - 3 ≤ 3x - 4.
Il terzo sistema da risolvere, quindi, è:
Andiamo, ora, a risolvere i sistemi impostati.
Primo sistema:
Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:
La soluzione del primo sistema è data dalle
x ≤ 1.
Secondo sistema:
Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:
La soluzione del secondo sistema è data dalle
7/5 ≤ x < 3/2.
Terzo sistema:
Riportiamo i risultati ottenuti su un grafico:
La soluzione del terzo sistema è
x ≥ 3/2 .
Facciamo l'UNIONE INSIEMISTICA dei risultati ottenuti, ovvero
x ≤ 1 ˅7/5 ≤ x < 3/2 ˅ x ≥ 3/2.
Se riportiamo questi tre intervalli su un grafico
x ≤ 1 ˅ 7/5 ≤ x < 3/2 ˅ x ≥ 3/2.
notiamo che, chiaramente, possiamo scrivere la soluzione nel modo che segue:
x ≤ 1 ˅x ≥ 7/5.
In alcuni casi particolari si potrebbe procedere a risolvere questo tipo di disequazioni in modo diverso, senza ricorrere allo studio dei segni delle espressioni presenti nei vari moduli. A questo argomento dedichiamo uno specifico approfondimento.
