DISEQUAZIONI IRRAZIONALI CON DUE O PIU' RADICALI
- Disequazioni irrazionali
- Disequazioni irrazionali con una costante a secondo membro e segno di maggiore
- Disequazioni irrazionali con un polinomio a secondo membro e segno di maggiore
- Come si risolvono le disequazioni irrazionali
In questa lezione andremo a vedere come possiamo risolvere le DISEQUAZIONI IRRAZIONALI quando in esse sono presenti due o più radicali.
Ovviamente la disequazione potrà presentarsi sotto varie forme. Vediamone alcune.
Primo caso. La disequazione si presenta nel modo seguente:
Qui bisogna distinguere due ipotesi:
- n
è PARI.
Affinché la nostra disequazione possa essere risolta bisogna porre come condizione che i due RADICANDI siano POSITIVI o UGUALI a ZERO.
Poste queste due condizioni possiamo andare ad ELEVARE entrambi i membri della disequazione alla ennesima potenza.
In altre parole si tratta di risolvere il seguente sistema
Facciamo ora due osservazioni.
Supponiamo che il SEGNO della disequazione sia MAGGIORE (>).
Se B(x) è positivo, e A(x) è maggiore di B(x), allora senz'altro anche A(x) sarà maggiore di zero. Quindi la prima disequazione può essere omessa e si può risolvere semplicemente il sistema
Esaminiamo ora il caso in cui il SEGNO della disequazione è MINORE (<).
Se A(x) è positivo, e A(x) è minore di B(x), allora senz'altro anche B(x) sarà maggiore di zero. Quindi la seconda disequazione può essere omessa e si può risolvere semplicemente il sistema
-
n è DISPARI.
Non c'è bisogno di porre particolari condizioni dato che i RADICANDI potranno essere POSITIVI, NEGATIVI o UGUALI a ZERO.
Sarà, quindi, sufficiente ELEVARE entrambi i membri della disequazione alla ennesima potenza.
In altre parole si tratta di risolvere la disequazione
Esempio:
Poiché n è dispari (n = 3) sarà sufficiente elevare primo e secondo membro alla terza e risolvere la seguente disequazione
Effettuando i calcoli vedremo che la soluzione è
>-1< x < 3.
Secondo caso. La disequazione si presenta nel modo seguente:
E' evidente che, spostando la radice ennesima di B(x) a secondo membro e cambiandogli di segno, ci ritroveremo nel caso visto in precedenza:
Esempio:
Portiamo il secondo radicale a secondo membro e gli cambiamo di segno:
Poiché n è pari (n = 2) e il segno della disequazione è minore (<) dovremo risolvere il sistema
la cui soluzione è
x ≥ 0.
Terzo caso. La disequazione contiene più di due radicali, ad esempio
La risoluzione di questo tipo di disequazioni richiede dei calcoli piuttosto lunghi e complessi. Per semplicità quindi, ipotizzeremo che n sia uguale a 2, anche perché generalmente negli esercizi raramente si prendono in considerazioni indici superiori al 2.
Quindi la disequazione che andremo ad esaminare è la seguente:
Notiamo che uno dei radicali ha SEGNO NEGATIVO.
Esempio:
Vediamo come procedere:
- per prima cosa bisogna porre le CONDIZIONI
DI ESISTENZA della disequazione.
Infatti, poiché tutti e tre i radicali hanno indice pari, è
necessario che i RADICANDI siano tutti
maggiori o uguali a zero.
Questo significa risolvere un sistema nel quale avremo tre
disequazioni ognuna delle quali pone la condizione che un radicando
sia positivo o uguale a zero.
La soluzione del sistema è
x ≥ 2
-
A questo punto dobbiamo ISOLARE un radicale, cioè portare un radicale a secondo membro. Questo passaggio è necessario per poter semplificare la disequazione. Infatti, nel momento in cui andiamo ad elevare al quadrato primo e secondo membro è preferibile dover calcolare il quadrato di un binomio a primo membro e il quadrato di una radice quadrata a secondo membro (radice quadrata che così scompare) piuttosto che fare la radice quadrata di un trinomio a primo membro.
Nell'isolare uno dei radicali è preferibile SPOSTARE all'ALTRO MEMBRO il radicale con segno negativo in modo da cambiargli di segno e trovarci con tre radicali tutti di segno positivo. Perché è necessario questo passaggio?
Essendo le radici quadrate, il radicando deve essere positivo o uguale a zero e una volta estratte le tre radici abbiamo sempre tre valori positivi.
Ora, se noi andassimo a spostare a secondo membro un radicale avente segno positivo, potremmo avere questa situazione:
In altre parole, avremmo a primo membro la differenza di due valori positivi, che potrà essere sia positiva che negativa, e a secondo membro un valore negativo.
Se a primo membro avessimo un valore positivo, esso non potrebbe essere minore di uno negativo. Quindi, per risolvere la disequazione dovremmo porre come ulteriore condizione che il primo membro sia negativo.
Il problema, invece, non si porrebbe se il segno della disequazione fosse maggiore dato che, un valore positivo e senz'altro maggiore di uno negativo, ma vi possono essere anche valori negativo maggiori di altri.
Noi, però, per evitare di rendere ancora più complessa la cosa, suggeriamo sempre di spostare il termine negativo all'altro membro.
Tornando al nostro esempio avremo:
-
ELEVIAMO primo e secondo membro al QUADRATO. In uno dei due membri il segno di radice sparirà, mentre nell'altro dovremo risolvere il quadrato di un binomio:
-
A questo punto non resta che eseguire i calcoli fino a quando non giungiamo ad una delle FORME che abbiamo esaminato in precedenza, ovvero un radicale a primo membro e lo zero a secondo membro oppure un radicale a primo membro ed una costante a secondo membro o ancora un radicale a primo membro e un polinomio a secondo membro.
Nel nostro caso abbiamo ricondotto la disequazione alla forma
- Ora dovremo andare a RISOLVERE
la DISEQUAZIONE applicando le REGOLE
proprie della forma trovata che noi abbiamo esaminato nelle
precedenti lezioni.
Nel nostro esempio dovremo andare ad applicare le regole che abbiamo visto nel caso disequazioni irrazionali con una costante a secondo membro e segno di maggiore.
Poiché l'indice della radice è pari e k è positivo per risolvere la nostra disequazione dobbiamo impostare il sistema
Risolviamo:
Le soluzioni del sistema sono:
- Come ultima cosa dobbiamo andare a
verificare che le SOLUZIONI TROVATE
rispettino le CONDIZIONI DI ESISTENZA
poste inizialmente.
Nel nostro caso la condizione di esistenza era:
x ≥ 2
E' evidente che soltanto la seconda soluzione soddisfa tale condizione. Quindi la soluzione della disequazione di partenza è:
Tra le disequazioni con più radicali vi sono anche quelle nelle quali i radicali hanno indici diversi, ma di esse parleremo nella prossima lezione.
