DISEQUAZIONI IRRAZIONALI CON UN POLINOMIO A SECONDO MEMBRO E SEGNO DI MAGGIORE (>)
- Disequazioni irrazionali
- Disequazioni irrazionali con lo zero a secondo membro
- Disequazioni irrazionali con una costante a secondo membro e segno di minore
- Disequazioni irrazionali con una costante a secondo membro e segno di maggiore
- Disequazioni irrazionali con un polinomio a secondo membro e segno di minore
- Condizione di esistenza dei radicali
- Sistemi di disequazioni di primo grado
- Unione di due insiemi
Continuiamo ad esaminare i metodi di risoluzione delle DISEQUAZIONI IRRAZIONALI, e vediamo come si risolvono disequazioni del tipo:
dove
A(x)
e
B(x) sono
entrambi dei polinomi.
Come sempre dobbiamo distinguere il caso in cui n è dispari da quello in cui n è pari.
Cominciamo a vedere come procedere quando
n è DISPARI.
Come abbiamo detto più volte, quando n è dispari, è sempre possibile estrarre la radice a prescindere dal segno del RADICANDO. Nel momento in cui estraiamo la radice, a primo membro otteniamo un valore dello stesso segno del radicando, quindi un valore che potrà essere positivo, negativo o nullo.
Di conseguenza non ci sono particolari condizioni da porre e la disequazione si risolve semplicemente ELEVANDO i due membri alla ennesima potenza. In altre parole
che equivale a risolvere:
Esempio:
Osserviamo che n è dispari (n = 3) e quindi possiamo procedere a risolvere elevando primo e secondo membro alla terza:
Applichiamo le regole relative al cubo di un binomio e risolviamo:
Ora confrontiamo il segno del primo coefficiente della disequazione ridotta a forma normale (+6) con il segno della disequazione (<). I due segni sono discordi e per la regola del DICE (Discordi Interni Concordi Esterni) i risultati cercati sono sono quelli interni alle radici trovate. Quindi:
-3 < x < -3/2.
Passiamo ad esaminare il caso in cui
n è PARI.
Come abbiamo detto nelle lezioni precedenti, innanzitutto è necessario che il RADICANDO sia POSITIVO o UGUALE A ZERO altrimenti non sarebbe possibile estrarre la sua radice. Quindi sarà necessario che:
Estraendo la radice a primo membro avremo sempre un valore positivo o nullo.
Ora, si potrebbero verificare due situazioni diverse:
- B(x)<0.
In questo caso A(x) essendo sicuramente positivo sarà anche maggiore di B(x).
Quindi i valori di x che rendono positivo A(x) e negativo B(x) sono sicuramente delle soluzioni della nostra disequazione. Questo significa risolvere il seguente sistema:
- B(x)≥0.
In questo caso A(x) è positivo e B(x) anche. Quindi bisogna elevare entrambi i membri all'ennesima potenza e cercare i valori di x che rendono positivo A(x), che rendono positivo B(x) e che soddisfano anche la nostra disequazione di partenza. Questo significa risolvere il seguente sistema:
Ma osserviamo che, se
B(x) è positivo
e
A(x) è essere maggiore di [B(x)]n
sicuramente anche
A(x) sarà positivo.
Di conseguenza, nel nostro sistema la prima disequazione è superflua e si può omettere in modo da risolvere il seguente sistema:
Ovviamente, le soluzioni che andremo a trovare con entrambi i sistemi saranno soluzioni della nostra disequazione di partenza.
Quindi, possiamo dire che, quando n è pari, le soluzioni della disequazione sono le soluzioni di entrambi i sistemi:
Più opportunamente possiamo scrivere:
dove il simbolo
è il simbolo di unione usato negli insiemi.
Questo significa, in altre parole, che saranno soluzioni della nostra disequazione, quei valori che sono soluzioni del primo sistema o del secondo sistema.
Esempio:
Dato che n è pari (n = 2) le soluzioni della disequazione sono dati dalla soluzione dei seguenti due sistemi:
Iniziamo a risolvere il primo sistema:
Il primo sistema avrà le seguenti soluzioni:
-2 ≤ x ≤ -1/2.
Passiamo al secondo sistema:
Risolviamo la seconda disequazione di questo sistema:
Il delta è positivo. Quindi per risolvere questo tipo di disequazione applichiamo la regola del DICE (Discordi Interni Concordi Esterni). Il segno del primo coefficiente a è positivo (+4) e il segno della disequazione è <. Essendo i due segni discordi la disequazione è verificata per i valori delle x interni alle due soluzioni trovate. In altre parole la soluzione è:
-1 ≤ x ≤ 1/4.
Andiamo, allora a risolvere questo secondo sistema:
Quindi la soluzione del secondo sistema è
-1/2 ≤ x < 1/4.
A questo punto possiamo dire che la soluzione della disequazione di partenza è
Ma ovviamente, in questo esempio, la soluzione da noi trovata può essere scritta più semplicemente come:
-2 ≤ x < 1/4.
Anche negli esempi esaminati in questa lezione, se anziché avere il segno > ci fosse stato il segno ≥ le regole esposte non sarebbero cambiate.
