RISOLUZIONE DI EQUAZIONE IRRAZIONALI CON UN SOLO RADICALE DI INDICE PARI
- Equazioni irrazionali
- Dominio di un'equazione irrazionale
- Come si risolvono le equazioni irrazionali
- Equazioni irrazionali risolvibili in modo immediato
- Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici
- Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici
- Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici
- L'insieme dei numeri reali
- Sistemi di equazioni
Nella lezione precedente, abbiamo accennato a come si risolvono le EQUAZIONI IRRAZIONALI con RADICALI QUADRATICI. Ora, vediamo concretamente come possiamo fare.
In questa lezione inizieremo ad esaminare il caso di una equazione del tipo:
dove
k ∈ R
che si legge
k appartenente all'insieme dei numeri reali.
Supponiamo, inoltre che sia
k ≥ 0.
Dato che a primo membro dobbiamo estrarre una radice quadrata, da essa otterremo sempre un valore positivo o tutt'al più uguale a zero. Quindi anche il secondo membro dovrà essere positivo, o al più uguale a zero: cosa che rientra dall'ipotesi da noi posta
k ≥ 0.
Poiché stiamo risolvendo un'equazione irrazionale con radicali quadratici, per avere delle soluzioni accettabili, la prima cosa da fare è porre come condizione che il RADICANDO, cioè tutto ciò che è posto sotto la radice, sia MAGGIORE o UGUALE a ZERO.
Questo significa che dobbiamo impostare e risolvere un sistema con due equazioni tali che:
- la prima equazione pone la CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL RADICALE;
- la seconda la si ottiene ELEVANDO ENTRAMBI I MEMBRI dell'equazione data al QUADRATO
ovvero
Esempi:
Iniziamo col dire che il dominio del nostro radicale è
x + 4 ≥ 0.
Ora, poiché al secondo membro abbiamo un numero positivo 2, possiamo andare ad elevare al quadrato entrambi i membri dell'equazione ed essere certi che il risultato trovato sarà un risultato accettabile a condizione che rientri nel campo di esistenza del radicale.
Impostiamo, quindi, il nostro sistema:
e andiamo a risolverlo.
Dato che
0 (soluzione dell'equazione) ≥ -4 (campo di esistenza del radicale)
la soluzione trovata è una SOLUZIONE ACCETTABILE.
Verifichiamolo:
Noi abbiamo voluto verificarlo per dimostrarvi che era vero quanto stavamo dicendo, ma chiaramente, risolvendo il sistema nel quale abbiamo già posto le condizioni di accettabilità, non ci sarà più bisogno di procedere ad effettuare la verifica.
Se avessimo avuto
Il dominio del radicale sarebbe stato sempre
x + 4 ≥ 0
x ≥ - 4.
In questo caso, dato che al secondo membro abbiamo un numero negativo -2, possiamo dire da subito che l'equazione è IMPOSSIBILE. Infatti
La soluzione trovata rientra nel campo di esistenza del radicale, ma andando a fare la verifica vediamo che:
Anche in questo caso noi abbiamo voluto verificarlo per dimostrarvi che era vero quanto avevamo affermato, ma chiaramente non ci sarebbe stato bisogno di procedere ad effettuare la verifica.
Se vi ricordate, in una lezione precedente, avevamo detto che questo caso
con
k negativo
è uno di quei casi che possiamo risolvere in modo immediato, senza bisogno di effettuare alcun conteggio, ma solo attraverso un semplice ragionamento.
Vediamo un altro esempio:
Impostiamo e risolviamo il solito sistema:
Ora, poiché al secondo membro abbiamo
un numero positivo, ovvero 
,
possiamo andare ad elevare al quadrato entrambi i membri dell'equazione ed
essere certi che il risultato trovato sarà un risultato accettabile a
condizione che rientri nel campo di esistenza del radicale.
Dato che
1 (soluzione dell'equazione) ≥ -4/3 (campo di esistenza del radicale)
la soluzione trovata è una SOLUZIONE ACCETTABILE.
Quando abbiamo detto in questa lezione, con riferimento alle equazioni irrazionali contenenti RADICALI QUADRATICI, vale per tutte le equazioni irrazionali del tipo:
con n pari
Queste equazioni andranno risolte impostando un sistema con due equazioni tali che:
- la prima equazione pone la CONDIZIONE DI ESISTENZA DEL RADICALE;
- la seconda la si ottiene ELEVANDO ENTRAMBI I MEMBRI dell'equazione data ad n.
Esempio:
Essendo
16 (soluzione dell'equazione) ≥ 0 (campo di esistenza del radicale)
la soluzione trovata è una SOLUZIONE ACCETTABILE.
Nelle prossime lezioni continueremo ad esaminare altri casi di risoluzione di equazioni irrazionali.
