TEOREMA SUI LOGARITMI: TEOREMA SUL PRODOTTO DI LOGARITMI
- I logaritmi: definizione
- Proprietà delle potenze
- Teoremi sui logaritmi: teorema sul rapporto di logaritmi
- Teoremi sui logaritmi: teorema della potenza di un logaritmo
- Teoremi sui logaritmi: teorema della radice di un logaritmo
- Teoremi sui logaritmi
- Sistemi di logaritmi
- Formula del cambiamento di base dei logaritmi
- Proprietà dei logaritmi derivate dai teoremi sui logaritmi
- Proprietà dei logaritmi derivate dalla formula di cambiamento di basi e dai teoremi sui logaritmi
- Tabella delle proprietà e dei teoremi dei logaritmi
- Esercizi sulle proprietà dei logaritmi
In questa e nelle prossime lezioni esamineremo i TEOREMI sui LOGARITMI.
Iniziamo con il TEOREMA DEL PRODOTTO dei LOGARITMI.
Il LOGARITMO del PRODOTTO di due o più FATTORI POSITIVI è uguale alla SOMMA dei LOGARITMI dei singoli fattori.
In altre parole:
loga (b · c) = loga b + loga c.
Vediamo perché.
Poniamo
x = loga b
e
y.
Per la definizione di logaritmo sappiamo che
ax = b
e
ay = c.
Moltiplichiamo il primo membro della prima per il primo membro della seconda e moltiplichiamo il secondo membro della prima per il secondo membro della seconda. Otteniamo:
ax · ay = b · c.
A primo membro applichiamo le proprietà delle potenze:
ax+y = bc.
La definizione di logaritmo ci dice che se
ax = b
allora
x = loga b.
Quindi
ax+y = bc
lo possiamo scrivere come
x+y = loga (bc).
Noi, all'inizio di questa dimostrazione, avevamo posto
x = loga b
e
y = loga c.
Andiamo allora a sostituire ad x+y i rispettivi valori e avremo:
loga b + loga c = loga (bc)
che è esattamente la proprietà scritta all'inizio, anche se i membri sono stati invertiti.
La regola non vale solamente nel caso di due fattori, ma anche se il loro numero è superiore.
Vediamo un esempio di applicazione di questa proprietà.
Esempio:
log5 (25 · 125) = log5 25 + log5 125 = 2 + 3 = 5.
Abbiamo detto che la regola vale anche in presenza di più fattori.
Esempio:
log2 (8 · 4 · 16) = log2 8 + log2 4 + log2 16 = 3 + 2 + 4 = 9.
Ovviamente, la proprietà del prodotto può essere usata anche in modo inverso.
Esempio:
log2 3 + log2 4 = log2 (3 · 4) = log2 12 = 3,58496.
Nelle prossime lezioni proseguiremo l'esame dei teoremi sui logaritmi.
