TEOREMA SUI LOGARITMI: TEOREMA DEL RAPPORTO
- I logaritmi: definizione
- Proprietà delle potenze
- Teoremi sui logaritmi: teorema sul rapporto di logaritmi
- Teoremi sui logaritmi: teorema della potenza di un logaritmo
- Teoremi sui logaritmi: teorema della radice di un logaritmo
- Teoremi sui logaritmi
- Sistemi di logaritmi
- Formula del cambiamento di base dei logaritmi
- Proprietà dei logaritmi derivate dai teoremi sui logaritmi
- Proprietà dei logaritmi derivate dalla formula di cambiamento di basi e dai teoremi sui logaritmi
- Tabella delle proprietà e dei teoremi dei logaritmi
- Esercizi sulle proprietà dei logaritmi
Proseguiamo l'esame dei TEOREMI sui LOGARITMI e dopo aver esaminato il PRODOTTO di LOGARITMI, ci occuperemo del TEOREMA DEL RAPPORTO dei LOGARITMI.
Il LOGARITMO di un QUOZIENTE è uguale alla DIFFERENZA tra il LOGARITMO del DIVIDENDO e il LOGARITMO del DIVISORE
In altre parole:
loga (b / c) = loga b - loga c.
Vediamo perché.
Poniamo
x = loga b
e
y = loga c.
Per la definizione di logaritmo sappiamo che
ax = b
e
ay = c.
Dividiamo il primo membro della prima per il primo membro della seconda e dividiamo il secondo membro della prima per il secondo membro della seconda. Otteniamo:
ax / ay = b / c.
A primo membro applichiamo le proprietà delle potenze:
ax-y = b/c.
La definizione di logaritmo ci dice che se
ax = b
allora
x = loga b.
Quindi
ax-y = b/c
lo possiamo scrivere come
x-y = loga (b/c).
Noi, all'inizio di questa dimostrazione, avevamo posto
x = loga b
e
y = loga c.
Andiamo allora a sostituire ad x-y i rispettivi valori e avremo:
loga b - loga c = loga (b/c)
che è esattamente la proprietà scritta all'inizio, anche se i membri sono stati invertiti.
Vediamo un esempio di applicazione di questa proprietà.
Esempio:
log3 (7/2) = log3 7 - log3 2 = 1,771243..- 0,630929...= 1,140314
Chiaramente, la proprietà del quoziente può essere usata anche in modo inverso.
Esempio:
log7 343 - log7 49 = log7 (343/49) = 1.
