FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI
- I logaritmi: definizione
- Teoremi sui logaritmi: teorema sul rapporto di logaritmi
- Teoremi sui logaritmi: teorema della potenza di un logaritmo
- Teoremi sui logaritmi: teorema della radice di un logaritmo
- Teoremi sui logaritmi
- Sistemi di logaritmi
- Formula del cambiamento di base dei logaritmi
- Proprietà dei logaritmi derivate dai teoremi sui logaritmi
- Proprietà dei logaritmi derivate dalla formula di cambiamento di basi e dai teoremi sui logaritmi
- Tabella delle proprietà e dei teoremi dei logaritmi
- Esercizi sulle proprietà dei logaritmi
Dopo aver visto, nella lezione precedente, che i SISTEMA di LOGARITMI sono INFINITI, in questa lezione cercheremo di capire come è possibile CAMBIARE la BASE di un logaritmo.
Supponiamo di avere
loga b.
Esso può essere espresso come RAPPORTO tra il LOGARITMO del numero b in un'altra base, che chiameremo c, e il LOGARTIMO della BASE a nella base c. Ovvero
Questa formula è detta FORMULA del CAMBIAMENTO DI BASE.
Vediamo come si giunge ad essa.
Poniamo
loga b = x
che, per la definizione stessa di logaritmo, significa affermare che
ax = b.
Applichiamo il logaritmo in base c ad entrambi i termini. Avremo:
ax = b
logc ax = logc b.
Applichiamo, a primo membro, il teorema della potenza del logaritmo e possiamo scrivere:
x · logc a = logc b.
Dividiamo, primo e secondo membro per logc a e otteniamo
Poiché, all'inizio, avevamo posto
loga b = x
sostituiamo nella formula precedente, alla x, il logaritmo in base a di b, ed otteniamo
Esempio:
vogliamo scrivere il seguente logaritmo
log3 25
nel sistema naturale, cioè in base e.
Prendiamo la formula del cambiamento di base
Nel nostro caso:
a = 3
b = 25
c = e.
Sostituiamo ed otteniamo
Questa formula è molto utile nel calcolo dei logaritmi. Infatti, con le calcolatrici scientifiche, possono essere calcolati il logaritmo decimale (indicato sulla calcolatrice con il simbolo log) e il logaritmo naturale (indicato sulla calcolatrice con il simbolo ln). Dovendo calcolare il logaritmo di una base diversa, sarà sufficiente applicare la formula vista in questa lezione.
Così, nell'esempio appena visto, se vogliamo calcolare il logaritmo in base 3 di 25 con la nostra calcolatrice scientifica, una volta effettuata la trasformazione mediante la formula del cambiamento di base, calcoliamo il logaritmo naturale di 25 e quello di 3 e facciamo il rapporto tra i due numeri trovati.
Infine, per completezza di esposizione, diciamo che il numero
è detto MODULO DI TRASFORMAZIONE per il passaggio dal sistema di logaritmi in base a al sistema di logaritmi in base c.
Infatti, la formula precedente, può essere scritta anche come:
