EQUAZIONI LOGARITMICHE RISOLVIBILI MEDIANTE SOSTITUZIONE
- I logaritmi: definizione
- Logaritmi: casi particolari
- Equazioni logaritmiche
- Equazioni logaritmiche sotto forma di uguaglianza di due logaritmi aventi la stessa base
- Equazioni logaritmiche sotto forma di uguaglianza di un logaritmo ed una costante
- Equazioni logaritmiche risolvibili con il metodo grafico
- Equazioni logaritmiche risolvibili con logaritmi aventi basi diverse
- Equazioni logaritmiche con l'incognita nella base
- Tabella delle proprietà e dei teoremi dei logaritmi
- Teoremi sui logaritmi: teorema sul rapporto di logaritmi
Proseguiamo nell'esame dei metodi di risoluzione delle EQUAZIONI LOGARITMICHE e vediamo il caso in cui esse sono risolvibili mediante SOSTITUZIONE.
In genere le equazioni risolvibili con tale metodo sono riconoscibili perché i logaritmi in esse presenti hanno tutti lo stesso argomento.
Tali equazioni sono riconducibili alla forma:
m· [loga f(x)]2 + n· loga f(x) + k = 0
con
m, n, k che sono delle costanti.
Questo tipo di equazioni si risolvono introducendo un'INCOGNITA AUSILIARIA ad esempio z e ponendo
z = loga f(x)
in modo tale che l'equazione di partenza diventi:
m·z2 + n·z + k = 0.
A questo punto si risolve come una normale equazione di secondo grado.
Una volta ottenute le soluzioni esse andranno sostituite al posto di z in modo da ottenere i valori di x.
Come per tutte le equazioni logaritmiche i valori trovati devono soddisfare la condizione di rendere positivi gli argomenti dei logaritmi presenti nell'equazione di partenza. Come al solito, per vedere se ciò accade, si può procedere in due modi:
- SOSTITUENDO i VALORI TROVATI nell'equazione di partenza in modo da constatare che i logaritmi ottenuti siano validi;
- determinando, nei modi già visti nelle precedenti lezioni, il CAMPO DI ESISTENZA dell'equazione.
Esempio:
[log3(x+1)]2 - 6 ·log3(x+1) + 9 = 0.
Decidiamo, nella soluzione dell'equazione, di applicare il secondo metodo ed andiamo a trovare il CAMPO DI ESISTENZA ponendo come condizione che l'argomento dei logaritmi sia maggiore di zero, ovvero:
x + 1 > 0
da cui otteniamo
x > -1.
Ora risolviamo con il metodo di sostituzione ponendo
z = log3(x+1)
ed otteniamo
z2 - 6z + 9 = 0.
Andiamo a risolvere:
Quindi
z = 3.
Ma poiché
z = log3(x+1)
possiamo scrivere
z = log3(x+1) = 3
ovvero
log3(x+1) = 3.
A questo punto abbiamo ricondotto la nostra equazione ad una equazione logaritmica con, ad un membro un logaritmo, e all'altro una costante. Come abbiamo visto nella lezione precedente risolviamo ricorrendo agli esponenziali e poniamo:
33 = x+1
da cui:
9 = x+1
- x = 1 - 9
-x = -8
x = 8.
Noi abbiamo detto che, affinché gli argomenti dei logaritmi siano positivi è necessario che
x > -1.
Il risultato trovato, ovvero 8, soddisfa tale condizione ed è quindi accettabile.
