EQUAZIONI LOGARITMICHE RISOLVIBILI CON LOGARITMI AVENTI BASI DIVERSE
- I logaritmi: definizione
- Logaritmi: casi particolari
- Formula del cambiamento di base dei logaritmi
- Equazioni logaritmiche
- Equazioni logaritmiche sotto forma di uguaglianza di due logaritmi aventi la stessa base
- Equazioni logaritmiche sotto forma di uguaglianza di un logaritmo ed una costante
- Equazioni logaritmiche risolvibili mediante sostituzione
- Equazioni logaritmiche risolvibili con il metodo grafico
- Equazioni logaritmiche con l'incognita nella base
- Teoremi sui logaritmi: teorema della radice di un logaritmo
- Tabella delle proprietà e dei teoremi dei logaritmi
- Condizione di esistenza dei radicali
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come risolvere i principali tipi di EQUAZIONI LOGARITMICHE. Esse erano tutte caratterizzate dalla presenza di logaritmi aventi sempre la stessa base, ma potrebbe capitare di dover risolvere delle equazioni logaritmiche nelle quali sono presenti vari logaritmi aventi BASI DIVERSE.
Come si procede in questi casi?
E' semplice: bisogna applicare la FORMULA del CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI in modo da scriverli tutti nella stessa base. In questo modo si ricondurrà l'equazione ad una delle forme viste nelle lezioni precedenti e si procederà alla risoluzione nei modi consueti.
Esempio:
Poniamo le nostre condizioni di esistenza, ovvero che gli argomenti dei due logaritmi siano entrambi maggiori di zero:
Notiamo, inoltre che, nell'equazione compare un radicale di indice pari occorre anche porre la condizione che il radicando sia positivo o uguale a zero, ma ciò è già implicito nella prima disequazione del nostro sistema.
La soluzione del sistema è chiaramente
x > 0.
Ora passiamo alla soluzione della equazione logaritmica. Notiamo che in essa sono presenti due logaritmi:
- uno con base 4;
- l'altro con base 16.
Iniziamo applicando il TEOREMA della RADICE di un LOGARITMO e scriviamo:
Ora, ricordiamo che la FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI ci dice che
Quindi scriviamo il logaritmo in base 16 di x sotto forma di logaritmo in base 4:
Notiamo che a denominatore abbiamo
log4 16
che è uguale a 2. Quindi possiamo scrivere:
log4 16 = 2
Nell'equazione logaritmica andiamo a sostituire al logaritmo in base 16 di x, il valore trovato:
A questo punto, a primo membro, mettiamo in evidenza il log4 x:
Ora, moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per 8/11:
A questo punto ricorriamo alla definizione di logaritmo. Noi sappiamo che:
loga b = x
significa che
ax = b.
Questo significa che
log4 x = (1/2)
può essere scritto come
4(1/2) = x.
Ma noi sappiamo anche che scrivere
4(1/2)
equivale a scrivere
Quindi, la soluzione trovata è
x = 2.
Questa soluzione è perfettamente ammissibile poiché, essendo maggiore di zero, soddisfa le condizioni di esistenza.
