GRAFICO DI UNA RELAZIONE
- Nozione di insieme
- Insiemi: alcuni simboli
- Insieme vuoto
- Sottoinsiemi di un insieme
- Sottoinsiemi propri e impropri
- Coppie ordinate
- Prodotto cartesiano di insiemi
- Relazione di un insieme A in un insieme B
- Relazione tra insiemi
- Rappresentazione grafica di una relazione
- Relazione tra insiemi: ulteriori considerazioni
In una precedente lezione abbiamo osservato che, dati due insiemi
A = {4, 7, 9}
B = {1, 2, 3}
le coppie ordinate che soddisfano la relazione "è il quadrato di" è un SOTTOINSIEME del PRODOTTO CARTESIANO di A e B.
Generalizzando possiamo dire che:
- dati due insiemi A e B;
- ed una relazione
fra di essi; - l'insieme
delle
coppie ordinate (a, b),
con a appartenente ad A
e
b appartenente a
B, tali che a
è associato a B mediante
è un SOTTOINSIEME del PRODOTTO
CARTESIANO di A
e B
che si chiama GRAFICO
di .
In simboli scriviamo:
che si legge
G di erre è uguale all'insieme delle coppie ordinate a,b tali che a appartiene ad A e b appartiene a B e che a associato b mediante R.
Come
si è detto
è un SOTTOINSIEME
del PRODOTTO CARTESIANO
di A
e B.
Ovvero:
che si legge
G di erre è sottoinsieme di
A cartesiano B.
Di
conseguenza si potrà anche avere che G(R) è un insieme vuoto
oppure che G(R) coincide con il prodotto cartesiano tra A e B.
Ricordiamo, infatti, che ogni insieme ha sempre due sottoinsiemi impropri:
- l'insieme vuoto
- se stesso.
Quindi potrà accadere che:
che si legge
G di erre è uguale
all'insieme vuoto
che si legge
G di erre è uguale ad
A cartesiano B.
Quando si verifica che
la
RELAZIONE si dice VUOTA.
Esempio:
A = {4, 7, 9}
B = {1, 2, 3}
relazione "è il cubo di".
Non c'è nessun elemento di A che è il cubo di un elemento di B.
La
relazione
"è il cubo
di" è VUOTA.
Vediamo,
invece, un caso nel quale il grafico di una relazione è uguale al
prodotto cartesiano dei due insiemi.
Esempio:
A = {6, 12 , 18}
B = {1, 2, 3}
relazione "è multiplo di".
Ogni elemento dell'insieme A è multiplo di ogni elemento dell'insieme B.
Quindi
la relazione
"è multiplo
di" è uguale al PRODOTTO
CARTESIANO.
Abbiamo
detto che
è un SOTTOINSIEME
del PRODOTTO CARTESIANO
di A
e B
ma
vale anche il contrario, ovvero OGNI SOTTOINSIEME
di A x B può essere
considerata come GRAFICO DI UNA RELAZIONE.
Infine
diciamo che, DUE RELAZIONI tra due
insiemi si dicono UGUALI se sono UGUALI
i loro GRAFICI.
Esempio:
A = {1, 8, 2}
B = {10, 4, 9}
relazione "è multiplo di"
relazione "è doppio di"
