METODO DI SOSTITUZIONE
- Sistemi di equazioni
- Principi di equivalenza dei sistemi
- Principio di sostituzione di un sistema
- Equazioni ridotte a forma normale
- Equazione di primo grado ad una incognita
- Come si risolve una equazione di primo grado in una incognita
Uno dei metodi che possiamo impiegare per risolvere un SISTEMA DI DUE EQUAZIONI LINEARI IN DUE INCOGNITE è il METODO DI SOSTITUZIONE.
Tale metodo si basa sul SECONDO PRINCIPIO di equivalenza dei sistemi detto anche PRINCIPIO di SOSTITUZIONE. Esso afferma che quando un'equazione è risolta rispetto ad una incognita e, andiamo a SOSTITUIRE nelle ALTRE EQUAZIONI la sua ESPRESSIONE, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
Vediamo allora come possiamo applicare tale principio per risolvere un sistema del tipo:
Nel nostro esempio, il sistema è già RIDOTTO in FORMA NORMALE. Se così non fosse sarebbe necessario, per prima cosa, procedere alla riduzione in forma normale.
Ora risolviamo la prima equazione rispetto alla x.
Quindi sostituiamo il valore della x, così ottenuto, nella seconda equazione e avremo:
La seconda equazione è così un'equazione in una sola incognita di primo grado. Andiamo a risolverla nei modi consueti:
Trovato il valore della y lo sostituiamo nella prima equazione:
Quindi le soluzioni del sistema sono:
Ricapitolando, per risolvere un SISTEMA LINEARE di DUE EQUAZIONI in DUE INCOGNITE col METODO di SOSTITUZIONE dobbiamo:
- RISOLVERE UNA delle equazioni RISPETTO A UNA DELLE INCOGNITE;
- SOSTITUIRE l'espressione trovata nell'ALTRA EQUAZIONE in modo da ottenere un'equazione di primo grado in una sola incognita e risolverla nei modi consueti;
- SOSTITUIRE il valore della SECONDA INCOGNITA nella precedente equazione.
Vediamo un altro esempio:
Anche in questo caso il sistema è ridotto a forma normale.
Ora risolviamo la prima equazione rispetto alla x.
Quindi sostituiamo il valore della x, così ottenuto nella seconda equazione e avremo:
La seconda equazione è così un'equazione in una sola incognita di primo grado. Andiamo a risolverla nei modi consueti:
Trovato il valore della y lo sostituiamo nella prima equazione:
Quindi le soluzioni del sistema sono:
