SISTEMI DI EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
- Sistemi di equazioni
- Grado di un sistema di equazioni
- Principi di equivalenza dei sistemi
- Risoluzione di un sistema di equazioni lineari
- Metodo di sostituzione
- Metodo di confronto
- Metodo di riduzione
- Regola di Cramer
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
Affinché un SISTEMA di due equazioni in due incognite sia di SECONDO GRADO è necessario che una delle equazioni che lo compone sia di SECONDO GRADO e l'altra di PRIMO GRADO.
Infatti per GRADO del SISTEMA
si intende il PRODOTTO dei
GRADI
delle SINGOLE EQUAZIONI. Quindi
affinché il prodotto di tali gradi sia 2
deve essere:
1 x 2
quindi una equazione di primo grado e una di secondo grado.
Anche per i SISTEMI DI EQUAZIONI DI SECONDO GRADO valgono i PRINCIPI DI EQUIVALENZA applicabili ai sistemi di equazioni di primo grado.
Tali principi sono:
- il PRINCIPIO di RIDUZIONE il quale afferma che, se in un SISTEMA di EQUAZIONI, SOSTITUIAMO ad una di esse, l'equazione che si ottiene ADDIZIONANDO MEMBRO A MEMBRO TUTTE LE EQUAZIONI del SISTEMA, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
- il PRINCIPIO di SOSTITUZIONE il quale afferma che, quando un'equazione è risolta rispetto ad una incognita e, andiamo a SOSTITUIRE nelle ALTRE EQUAZIONI la sua ESPRESSIONE, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
Dei diversi metodi applicabili per la risoluzione di un sistema (metodo di sostituzione, metodo di confronto, metodo di riduzione e regola di Cramer) si è soliti impiegare il SISTEMA DI SOSTITUZIONE.
Con tale metodo per risolvere il sistema si procede come segue:
- si RISOLVE l'equazione di primo grado RISPETTO A UNA DELLE INCOGNITE: si sceglie di risolvere questa equazione perché, essendo essa di primo grado, è più semplice;
- si SOSTITUISCE l'espressione trovatanell'ALTRA INCOGNITA in modo da ottenere un'equazione di secondo grado in una sola incognita e risolverla nei modi consueti;
- si SOSTITUISCE il valore della SECONDA INCOGNITA nella precedente equazione.
Immaginiamo di dover risolvere il seguente sistema:
Innanzitutto vediamo che si tratta di un sistema di secondo grado. Infatti, la prima equazione ha grado 2, la seconda ha grado 1, il loro prodotto (2x1) è 2.
Ora risolviamo la seconda equazione rispetto ad una delle incognite, ad esempio rispetto alla x.
Sostituiamo, nella prima equazione, il valore della x che abbiamo trovato dalla seconda equazione. Avremo:
Risolviamo la prima equazione:
La prima equazione è una equazione di secondo grado ad una incognita: la risolviamo applicando la formula risolutiva:
La nostra equazione ammette due soluzioni. Ora, sostituendo il valore di y1 nella seconda equazione possiamo trovare il valore di x1, mentre sostituendo il valore di y2 nella seconda equazione possiamo trovare il valore di x2:
Quindi, il nostro sistema ammette due coppie di soluzioni:
(-5, -4); (5, 4).
In alcuni casi la soluzione di un sistema di equazioni di grado superiore può essere effettuata in modo più conveniente usando dei metodi diversi rispetto a quello di sostituzione. Questi metodi verranno esaminati nelle successive lezioni.
