PARTIZIONE DI UN INSIEME
- Nozione di insieme
- Rappresentazione grafica di un insieme
- Insieme vuoto
- Sottoinsiemi di un insieme
- Unione di due insiemi
- Intersezione di due insiemi
- Insieme complementare
Consideriamo l'insieme I NON VUOTO:
I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Lo rappresentiamo con un DIAGRAMMA DI VENN:
Ora consideriamo i seguenti SOTTOINSIEMI di I:
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5}
C = {6, 7, 8}.
Li rappresentiamo graficamente:
Notiamo che:
- A,
B
e C
NON
sono VUOTI.
Ovvero:
-
A, B e C sono DISGIUNTI A DUE A DUE. Ovvero:
- L'unione
di A
con B
e con C
è l'insieme I.
Ovvero:
L'INSIEME formato dai SOTTOINSIEMI A, B e C prende il nome di PARTIZIONE dell'INSIEME I:
Partizione dell'insieme I = {A, B, C}
che avremmo potuto scrivere anche così:
Partizione dell'insieme I = { {1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8} }.
Invece, A, B e C vengono chiamati CLASSI DELLA PARTIZIONE.
Ricapitolando:
si chiama PARTIZIONE di un insieme I, ogni INSIEME DI PARTI NON VUOTE di I, DISGIUNTE A DUE A DUE, e la cui UNIONE è uguale a I.
Queste parti prendono il nome di CLASSI DELLA PARTIZIONE.
Da uno stesso insieme possiamo ottenere diverse partizioni. Ad esempio dal nostro insieme avremmo potuto ottenere anche:
Partizione dell'insieme I = { {1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8} }
oppure
Partizione dell'insieme I = { {2, 3, 4}, {1, 5, 8}, {6, 7} }
e molte altre ancora.
Notiamo che dato l'insieme I avremmo potuto scrivere:
Partizione dell'insieme I = { {1, 2, 3}, {4, 5, 6, 7, 8} }.
In questo caso l'insieme I ha solamente DUE CLASSI DI PARTIZIONE che sono tra loro COMPLEMENTARI rispetto ad I.
In una precedente lezione abbiamo parlato dell'INSIEME DELLE PARTI che indichiamo col simbolo
L'INSIEME DELLE PARTI DI di I è l'insieme i cui ELEMENTI sono tutti i SOTTOINSIEMI di I, compreso l'INSIEME VUOTO e I STESSO.
Una PARTIZIONE DI I è un SOTTOINSIEME dell'INSIEME DELLE PARTI di I.
Facciamo un esempio:
I = {0, 2, 4}.
Una delle possibili partizioni di I = {{0, 4}, {2}}.
La nostra partizione di I è un sottoinsieme dell'insieme delle parti di I, infatti:
- Leggi di De Morgan - Logica matematica
