DISEQUAZIONI CON SOMMA DI DUE MODULI A PRIMO MEMBRO E LO ZERO A SECONDO MEMBRO
In una delle lezioni dedicate alle disequazioni con valore assoluto abbiamo visto come risolvere disequazioni del tipo:
|A(x)| ≥ |B(x)|
oppure
|A(x)| ≤ |B(x)|.
Il metodo suggerito è quello di studiare i segni delle espressioni presenti nei moduli, riportare i risultati su un grafico, risolvere tanti sistemi quanti sono gli intervalli nei quali è diviso il grafico e, infine, fare l'unione insiemistica dei risultati ottenuti.
All'interno di questo tipo di disequazioni, ne esisteste uno che può essere risolto in modo diverso. Si tratta delle disequazioni che si presentano in questa forma:
|A(x)| ≥ - |B(x)|
oppure
|A(x)| ≤ - |B(x)|.
Queste disequaizioni possono essere scritte anche nel modo seguente:
|A(x)| + |B(x)| ≥ 0
|A(x)| + B(x) ≤ 0.
Quindi, quanto diremo in questo approfondimento riguarda solamente le disequazioni che presentano:
- a primo membro, la SOMMA di DUE VALORI ASSOLUTI
- a secondo membro, lo ZERO.
Esamineremo 4 tipi di disequazioni:
|A(x)| + |B(x)| > 0
|A(x)| + |B(x)| ≥ 0
A(x)| + |B(x)| < 0
|A(x)| + |B(x)| ≤ 0.
Facciamo attenzione. Quello che diremo nel proseguo di questo approfondimento vale solamente se a primo membro abbiamo la SOMMA di due moduli e NON nel caso in cui abbiamo la DIFFERENZA.
Cominciamo dal primo caso.
|A(x)| + |B(x)| > 0.
A primo membro abbiamo la somma di due valori assoluti, in altre parole abbiamo la somma di due valori positivi: essa sarà sempre positiva salvo il caso in cui sia A(x) che B(x) sono uguali a zero: in questo caso la loro somma è zero e la disequazione non è verificata.
Quindi, la nostra soluzione, sarà data da
che si legge
qualunque x appartenente ai reali tale che A con x è diverso da zero e B con x è diverso da zero.
In altre parole, per risolvere questo tipo di disequazioni è sufficiente risolvere il sistema
Esempio:
|4x + 8| + |3x + 6| > 0.
A primo membro abbiamo la somma di due moduli. A secondo membro abbiamo lo zero. Per cercare i valori delle x che rendono il primo membro maggiore del secondo membro dobbiamo escludere il caso in cui sia l'espressione presente nel primo modulo che quella presente nel secondo modulo siano uguali a zero. Risolviamo, allora, il sistema:
E' evidente che la soluzione del sistema è -2. Quindi, quando la x è uguale a -2 entrambe le espressioni contenute nei due moduli si annullano e la disequazione non è vera. Di conseguenza la soluzione della disequazione è data da
che si legge
qualunque x appartenente ai reali tale che x è diverso da -2.
Se invece la nostra disequazione è
|A(x)| + |B(x)| ≥ 0
essa sarà vera per qualunque valore di x. Infatti, anche quando sia A(x) che B(x) sono uguali a zero la disequazione è verificata dato che zero è maggiore o UGUALE a zero.
Quindi, la soluzione, della nostra disequazione è
che si legge
qualunque x appartenente ai reali.
Passiamo al caso in cui
|A(x)| + |B(x)| < 0.
A primo membro abbiamo la somma di due valori assoluti, in altre parole abbiamo la somma di due valori positivi: essa sarà sempre positiva (o eventualmente uguale a zero). Quindi un valore positivo, o tutt'al più lo zero, non sarà mai minore dello zero. Perciò possiamo dire che questa disequazione non è mai vera, cioè NON AMMETTE SOLUZIONI, che può essere scritto in uno dei modi seguenti:
che si legge
non esiste soluzione
oppure
S = Ø
che si legge
la soluzione è l'insieme vuoto.
Esempio:
|5x| + |9x -23| < 0.
A primo membro abbiamo la somma di due moduli. A secondo membro abbiamo lo zero. E' impossibile trovare un valore di x che renda il primo membro minore del secondo membro: quindi la disequazione non ammette soluzioni.
Veniamo all'ultimo caso
|A(x)| + |B(x)| ≤ 0
Abbiamo detto che a primo membro abbiamo sempre un valore positivo ed esso non sarà mai minore dello zero.
Se, però, a primo membro abbiamo lo zero la disequazione sarà verificata dato che il primo membro sarà UGUALE al secondo membro. Quindi, l'unico caso nel quale la disequazione ha una soluzione è quello in cui sia A(x) che B(x) sono uguali a zero in modo da annullare il primo membro.
Di conseguenza, la soluzione della disequazione, la otteniamo risolvendo il sistema
Esempio:
|5x + 3 - 2x| + |10x + 10| ≤ 0
A primo membro abbiamo la somma di due moduli. A secondo membro abbiamo lo zero. Dobbiamo cercare il valore che rende il primo membro minore o uguale al secondo.
Questo si verifica solamente nel caso in cui, sia l'espressione presente nel primo modulo, che quella presente nel secondo modulo, sono uguali a zero. Risolviamo, allora, il sistema:
Il sistema ammette come soluzione -1, che è anche la soluzione della nostra disequazione.
