DISEQUAZIONI ESPONENZIALI CON POTENZE AVENTI LA STESSA BASE
- Funzione esponenziale
- Disequazioni esponenziali con potenze aventi la stessa base
- Disequazioni esponenziali con potenze aventi lo stesso esponente
- Disequazioni esponenziali con potenze aventi basi ed esponenti diversi
- Disequazioni esponenziali con una potenza ed una costante
- Risoluzione di disequazioni esponenziali mediante sostituzione
- Risoluzione di disequazioni esponenziali con metodo grafico
Iniziamo a vedere come si risolvono le DISEQUAZIONI ESPONENZIALI partendo da quelle nelle quali compaiono a primo e secondo membro due POTENZE aventi la STESSA BASE, ma DIVERSO ESPONENTE.
Queste disequazioni si possono presentare in una delle seguenti forme:
af(x) > ag(x)
af(x) < ag(x)
af(x) ≥ag(x)
af(x) ≤ ag(x).
Per risolvere questo tipo di disequazione dobbiamo ricordare che la FUNZIONE ESPONENZIALE:
- è una FUNZIONE CRESCENTE
quando
a > 1.
In questo caso al crescere dell'esponente cresce anche il valore della y;
- è una FUNZIONE DECRESCENTE
quando
0 > a > 1.
In questo caso al crescere dell'esponente il valore della y si riduce.
Proprio per quello che è l'andamento della funzione esponenziale, nel risolvere le disequazioni esponenziali, dobbiamo distinguere il caso in cui
a > 1
dal caso in cui
0 > a > 1.
Dallo studio delle equazioni esponenziali noi sappiamo che l'equazione
af(x) = ag(x)
si risolve ponendo
f(x) = g(x).
Nel momento in cui passiamo dal risolvere le equazioni, al risolvere le disequazioni, entra in gioco il valore di a e l'andamento della funzione esponenziale. Infatti:
- se a >
1 essendo la funzione
crescente, significa che, se
af(x) > ag(x)
anche
f(x) > g(x).
Vediamo un esempio direttamente sul grafico della funzione esponenziale:
Chiaramente significa anche che, se
af(x) < ag(x)
anche
f(x) < g(x)
Vediamolo ricorrendo ad un esempio grafico:
- invece
se 0 < a <
1 essendo la funzione decrescente, avremo che, quando
af(x) > ag(x)
sarà
f(x) < g(x).
Vediamolo graficamente:
E quando
af(x) < ag(x)
sarà
f(x) > g(x).
Vediamo anche questo caso con un grafico:
Di conseguenza, per risolvere questo tipo di disequazioni:
- se
a > 1,
il VERSO della disequazione
resta INVARIATO
quindi,
per risolvere af(x) > ag(x) pongo f(x) > g(x)
e per risolvere af(x) < ag(x) pongo f(x) < g(x)
-
se 0 <a < 1, il VERSO della disequazione CAMBIA
quindi,
per risolvere af(x) > ag(x) pongo f(x) < g(x)
e per risolvere af(x) < ag(x) pongo f(x) > g(x).
Vediamo alcuni esempi.
Esempio 1:
24x+3 > 25x - 2.
Ci troviamo di fronte ad una disequazione che ha, a primo e secondo membro, due potenze della stessa base, mentre gli esponenti sono diversi.
Per prima cosa dobbiamo verificare se la base è maggiore di uno o è compresa tra 0 e 1. Essendo la base 2 rientra nel caso in cui
a > 1
quindi dobbiamo risolvere una disequazione tra gli esponenti delle potenze lasciando invariato il verso della disequazione:
4x + 3 > 5x - 2.
Risolviamo
4x - 5x > - 2 - 3
- x > -5
x < 5.
Esempio 2:
(1/2)x+2 ≤ (1/2)2x-3.
Anche in questo caso la disequazione ha, a primo e secondo membro, due potenze della stessa base con esponenti diversi.
Notiamo che la base, pari ad 1/2, è compresa tra 0 e 1, quindi dobbiamo risolvere una disequazione tra gli esponenti delle potenze andando a cambiare il verso della disequazione:
x+2 ≥ 2x-3.
Risolviamo
x+2 ≥ 2x - 3
x - 2x ≥ -3 -2
-x ≥ -5
x ≤ 5.
