RISOLUZIONE DI DISEQUAZIONI ESPONENZIALI MEDIANTE SOSTITUZIONE

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• Funzione esponenziale
• I logaritmi: definizione
• Logaritmi: casi particolari
• Teoremi sui logaritmi: teorema della potenza di un logaritmo
• Disequazioni esponenziali
• Disequazioni esponenziali con potenze aventi la stessa base
• Disequazioni esponenziali con potenze aventi lo stesso esponente
• Disequazioni esponenziali con potenze aventi basi ed esponenti diversi
• Disequazioni esponenziali con una potenza ed una costante
• Risoluzione di disequazioni esponenziali mediante sostituzione
• Risoluzione di disequazioni esponenziali con metodo grafico
• Come si risolvono le disequazioni intere di secondo grado

Proseguiamo l'argomento della risoluzione delle DISEQUAZIONI ESPONENZIALI vedendo come si risolvono le disequazioni del tipo:

a·d ^2f(x) + b·d ^f(x) + c > 0

a·d ^2f(x) + b·d ^f(x) + c < 0

a·d ^2f(x) + b·d ^f(x) + c ≥ 0

a·d ^2f(x) + b·d ^f(x) + c ≤ 0.

Queste disequazioni si risolvono ponendo

d ^f(x) = z.

Supponendo che la disequazione di partenza sia

a·d ^2f(x) + b·d ^f(x) + c > 0

in seguito alla sostituzione diventa

az² + bz + c > 0

che si risolve come una normale disequazione di secondo grado.

Una volta trovate le soluzioni esse vanno sostituite al posto di z.

Esempio:

2^2x-2 - 6 · 2^x-1 + 5 > 0 .

Scriviamo l'esponente del primo termine sotto forma di un prodotto

2^2(x-1) - 6 · 2^x-1 + 5 > 0

Poniamo

2^x-1 = z

e andiamo a sostituire

2^2(x-1) - 6 · 2^x-1 + 5 > 0

z² - 6z + 5 > 0.

Risolviamo come una normale disequazione di secondo grado:

Confrontiamo il segno del coefficiente del primo termine (+) con il verso della disequazione (>): sono concordi, quindi le soluzioni che soddisfano la disequazione sono quelle esterne. Pertanto possiamo scrivere come soluzioni

z < 1

e

z > 5.

Ora ricordiamo che noi abbiamo inizialmente posto

2^x-1 = z.

Quindi, possiamo scrivere:

2^x-1 < 1

e

2^x-1 > 5.

Iniziamo col risolvere la prima:

2^x-1 < 1.

Si tratta di risolvere una disequazione con una potenza a primo membro e una costante a secondo membro. Usiamo i LOGARITMI e scriviamo:

log ₂2^x-1 < log ₂ 1

Per il TEOREMA della POTENZA di un LOGARITMO, possiamo scrivere:

x - 1 < log ₂ 1

x < 1 + log ₂ 1.

Passiamo a risolvere la seconda:

2^x-1 > 5.

Procediamo allo stesso modo:

log ₂2^x-1 < log ₂ 5

x - 1 < log ₂ 5

x < 1 + log ₂ 5.

Quindi le due soluzioni sono:

x < 1 + log ₂ 1

e

x < 1 + log ₂ 5.

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Indice degli argomenti su esponenziali e logaritmi

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