DISEQUAZIONI ESPONENZIALI CON POTENZE AVENTI LO STESSO ESPONENTE
- Funzione esponenziale
- Disequazioni esponenziali
- Disequazioni esponenziali con potenze aventi la stessa base
- Disequazioni esponenziali con potenze aventi basi ed esponenti diversi
- Disequazioni esponenziali con una potenza ed una costante
- Risoluzione di disequazioni esponenziali mediante sostituzione
- Risoluzione di disequazioni esponenziali con metodo grafico
Continuiamo a vedere come si risolvono le DISEQUAZIONI ESPONENZIALI prendendo in esame il caso in cui, a primo e secondo membro, compaiono due POTENZE aventi lo STESSO ESPONENTE ma BASE DIVERSA.
Queste disequazioni si possono presentare in una delle seguenti forme:
af(x) > bf(x)
af(x) < bf(x)
af(x) ≥ bf(x)
af(x) ≤bf(x).
Anche per risolvere questo tipo di disequazione dobbiamo ricordare che la FUNZIONE ESPONENZIALE:
- è una FUNZIONE CRESCENTE
quando
a > 1.
In questo caso al crescere dell'esponente cresce anche il valore della y;
- è una FUNZIONE DECRESCENTE
quando
0 > a > 1.
In questo caso al crescere dell'esponente il valore della y si riduce.
Quindi, anche nel risolvere questo tipo di disequazione esponenziale, così come abbiamo visto nella lezione precedente, dobbiamo distinguere il caso in cui la base è maggiore di , da quello in cui è compresa tra zero e 1.
Nel risolvere le equazioni esponenziali abbiamo diviso primo e secondo membro della nostra equazione per b f(x) in modo da avere:
E, per le proprietà delle potenze abbiamo scritto:
Quindi,
abbiamo osservato che una potenza con base diversa da 1, è uguale ad
1, solamente se
l'esponente
è uguale a zero.
Per questa ragione l'equazione si risolve ponendo
f(x) = 0.
Passiamo ora dalla risoluzione dell'equazione esponenziale a quella della disequazione esponenziale ed andiamo ad esaminare il valore della base e l'andamento della funzione esponenziale.
Osserviamo che la base della nostra potenza è a/b. Quindi:
- quando a > b, la BASE della potenza è maggiore di 1;
- quando a < b, la BASE della potenza è compresa tra 0 e 1.
Di conseguenza
- se
a > b,
la BASE
della potenza è maggiore di 1
ed essendo
la funzione crescente, si avrà che quando
f(x) > 0
anche
(a/ b) f(x) > 1.
mentre quando
f(x) < 0
anche
(a/ b) f(x) < 1.
-
invece se a < b, la BASE della potenza è minore di 1, ed essendo la funzione decrescente, si avrà che
f(x) > 0
allora
(a/ b) f(x) < 1
mentre quando
f(x) < 0
allora
(a/ b) f(x) > 1.
Di conseguenza, per risolvere questo tipo di disequazioni:
- se
a >
b,
il
VERSO della disequazione
resta
INVARIATO
quindi,
per risolvere af(x) > bf(x) poniamo f(x) > 0
e per risolvere af(x) < bf(x) poniamo f(x) < 0
- se
a < b, il VERSO
della disequazione CAMBIA
quindi,
per risolvere af(x) > bf(x) poniamo f(x) < 0
e per risolvere af(x) < bf(x) poniamo f(x) > 0.
Vediamo alcuni esempi.
Esempio 1:
35x-2 < 25x - 2.
La disequazione data ha, a primo e secondo membro, due potenze aventi lo stesso esponente.
Confrontiamo i valori delle due basi delle potenze e verifichiamo che
a > b
infatti
3 > 2.
Quindi, per risolvere la disequazione poniamo l'esponente minore di zero, dato che il verso della disequazione non cambia. Andiamo a risolvere:
5x - 2 < 0
5x < 2
x < 5/2.
Esempio 2:
22x+3 > 52x+3.
Anche in questo caso la disequazione presenta, a primo e secondo membro, due potenze aventi lo stesso esponente.
Confrontiamo i valori delle due basi delle potenze e notiamo che
a < b
infatti
2 > 5.
Quindi, per risolvere la disequazione poniamo l'esponente minore di zero, poiché dobbiamo cambiare il verso della disequazione. Quindi andremo a risolvere:
2x + 3 < 0
2x < -3
x < -3/2.
