FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL COSENO
- Formule goniometriche
- Seno e coseno
- Corde di una circonferenza
- Distanza tra due punti
- Quadrato di un binomio
- Prima relazione fondamentale della goniometria
Iniziamo l'esame delle FORMULE GONIOMETRICHE partendo dalle FORMULE DI SOTTRAZIONE e più precisamente dal COSENO della DIFFERENZA degli angoli α e β
cos (α - β)
Abbiamo visto in una precedente lezione che
cos (α - β) ≠ cos α - cos β
che si legge
il coseno di, alfa meno beta, è diverso dal coseno di alfa meno il coseno di beta.
Ma allora chiediamoci: "A che cosa è uguale il coseno della differenza di due angoli?"
Per capirlo iniziamo col disegnare una CIRCONFERENZA GONIOMETRICA:
Ora disegniamo l'angolo orientato BÔA di ampiezza β
Quindi disegniamo l'angolo orientato DÔA di ampiezza α e tale che
α > β
L'angolo DÔB ha, ovviamente, un'ampiezza pari ad
α - β
Ora ci chiediamo: "Qual è il COSENO di tale angolo?" Per capirlo andiamo a disegnare l'angolo CÔA di ampiezza α - β avente il punto estremo nell'origine degli archi A.
Gli angoli DÔB e
CÔA hanno entrambi ampiezza
α - β. Di conseguenza, l'ARCO
e l'arco
sono CONGRUENTI
poiché sono corrispondenti di
angoli al centro congruenti.
Ma se i due archi e
sono tra loro congruenti, lo sono anche
le due CORDE DB e
CA che sottendono ai rispettivi archi.
Quindi possiamo scrivere:
DB = CA
Ora andiamo a determinare il valore di questi due segmenti: lo facciamo ricorrendo alle formule sulla DISTANZA TRA DUE PUNTI.
Iniziamo col calcolare il segmento DB. Chiamiamo:
xD l'ascissa del punto D
xB l'ascissa del punto B
yD l'ordinata del punto D
yB l'ordinata del punto B.
Quindi, possiamo scrivere che
Elevando tutti e due i membri al quadrato, otteniamo:
DB = (xD - xB)2 + (yD - yB)2
Ora, noi sappiamo che
xD = cos α
xB = cos β
yD = sen α
xB = sen β
Quindi possiamo scrivere che:
DB = (cos α - cos β)2 + (sen α - sen β)2.
Sviluppando, abbiamo:
cos2 α + cos2 β -2 cos α · cos β + sen2 α + sen2 β -2 sen α · sen β
Ora passiamo a calcolare il segmento CA. Chiamiamo:
xC l'ascissa del punto C
xA l'ascissa del punto A
yC l'ordinata del punto C
yA l'ordinata del punto A.
Quindi, possiamo scrivere che
Elevando tutti e due i membri al quadrato, otteniamo:
CA = (xC - xA)2 + (yC - yA)2
Ora, noi sappiamo che
xC = cos (α - β)
xA = 1
yC = sen (α - β)
yA = 0
Quindi possiamo scrivere che:
CA = [cos (α - β) - 1)]2 + [sen (α - β) - 0)]2
da cui otteniamo:
CA = [cos (α - β) - 1)]2 + sen2 (α - β)
Sviluppando il quadrato del binomio indicato avremo:
cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β).
Ora, dato che abbiamo detto che
DB = CA
possiamo scrivere:
cos2 α + cos2 β -2 cos α · cos β + sen2 α + sen2 β -2 sen α · sen β = cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β)
La PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRI ci dice che
sen2 α = 1 - cos2 α
Da cui otteniamo:
sen2 α + cos2 β = 1
Questa relazione ci è utile perché possiamo andare a sostituirla nella uguaglianza scritta prima. Infatti, se osserviamo meglio i termini scritti, notiamo che questa relazione è presente tra essi: l'abbiamo evidenziata in rosso:
cos2 α + cos2 β -2 cos α · cos β + sen2 α + sen2 β -2 sen α · sen β = cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β)
A questi termini, quindi possiamo sostituire il valore 1:
1 + cos2 β -2 cos α · cos β + sen2 β -2 sen α · sen β = cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β)
La relazione fondamentale è presente ancora una volta nell'uguaglianza scritta: questa volta l'abbiamo evidenziata in verde:
1 + cos2 β -2 cos α · cos β + sen2 β -2 sen α · sen β = cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β)
Sostituendo abbiamo:
1 + 1 -2 cos α · cos β -2 sen α · sen β = cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β)
Ed infine abbiamo ancora:
1 + 1 -2 cos α · cos β -2 sen α · sen β = cos2 (α - β) + 1 - 2 cos (α - β) + sen 2 (α - β)
Da cui otteniamo:
1 + 1 -2 cos α · cos β -2 sen α · sen β = 1 + 1 - 2 cos (α - β)
A questo punto notiamo che abbiamo, a primo membro due 1, come pure a secondo membro. Avendo lo stesso segno si possono eliminare:
1 + 1 -2 cos α · cos β -2 sen α · sen β = 1 + 1 - 2 cos (α - β)
-2 cos α · cos β -2 sen α · sen β = - 2 cos (α - β)
Tutti i termini sono divisibili per -2. Infatti:
-2 cos α · cos β -2 sen α · sen β = - 2 cos (α - β)
Quindi dividiamo per -2 e abbiamo:
cos α · cos β + sen α · sen β = cos (α - β)
Che letta da destra verso sinistra diventa:
cos (α - β) = cos α · cos β + sen α · sen β
Abbiamo così determinato quanto vale il COSENO della DIFFERENZA tra due ANGOLI: esso è pari al PRODOTTO del COSENO del primo angolo per il COSENO del secondo AUMENTATO del PRODOTTO del SENO del primo angolo per il SENO del secondo.
Nella prossima lezione andremo a vedere la formula di addizione del coseno.
