FUNZIONI GONIOMETRICHE PARI E DISPARI
- Funzioni pari
- Funzioni dispari
- Archi opposti
- Grafico della funzione seno
- Grafico della funzione coseno
- Grafico della funzione tangente
- Grafico della funzione secante
- Grafico della funzione cosecante
- Grafico della funzione cotangente
Una FUNZIONE si dice PARI se per qualsiasi x appartenente all'insieme dei numeri reali, vale la seguente relazione:
f(x) = f(-x).
Il GRAFICO di una funzione PARI è SIMMETRICO rispetto all'ASSE DELLE y.
Una funzione si dice DIPARI se per qualsiasi x appartenente all'insieme dei numeri reali, vale la seguente relazione:
f(x) = -f(-x).
Il GRAFICO di una funzione DIPARI è SIMMETRICO rispetto all'ORIGINE degli ASSI.
Fatta questa premessa vediamo quali funzioni goniometriche sono pari e quali dispari. Per comprenderlo possiamo seguire due strade:
- vedere qual è il valore della funzione goniometrica dell'angolo α e dell'angolo -α, in altre parole si tratta di vedere il valore delle funzioni goniometriche di archi opposti;
- vedere come si presenta il grafico della funzione goniometrica.
Partiamo dalla funzione SENO. Per essa vale la relazione:
quindi ci troviamo nel caso:
f(x) = -f (-x)
Di conseguenza possiamo dire che la funzione seno è una funzione DISPARI.
Verifichiamolo osservando anche il suo grafico:
Notiamo che il grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi: a titolo di esempio si noti che, quando l'arco è pari a π/2 il seno vale 1, mentre quando l'arco è pari a -π/2 il seno vale -1.
Passiamo alla funzione COSENO. Per essa vale la relazione:
quindi ci troviamo nel caso:
f(x) = f (-x)
Pertanto la funzione coseno è una funzione PARI.
Verifichiamolo osservando anche il suo grafico:
Notiamo che il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle y: a titolo di esempio si noti che, quando l'arco è pari a π/2 il coseno vale 0 esattamente come quando l'arco è pari a -π/2.
Vediamo cosa accade con la funzione TANGENTE. Per essa vale la relazione:
quindi ci troviamo nel caso:
f(x) = -f (-x)
e possiamo dire che la funzione tangente è una funzione DISPARI.
Verifichiamolo con il grafico:
Notiamo che il grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi: a titolo di esempio si noti che, quando l'arco si avvicina a π/2 la tangente diventa infinitamente grande, mentre quando l'arco si avvicina a -π/2 la tangente diventa infinitamente piccola.
Proseguiamo con la funzione COTANGENTE. Per essa vale la relazione:
quindi ci troviamo nel caso:
f(x) = -f (-x)
Possiamo affermare, allora, che anche la funzione cotangente è una funzione DISPARI come ci mostra anche l'immagine sottostante in cui è evidente come il grafico della funzione cotangente è simmetrico rispetto all'origine degli assi:
Proseguiamo con la funzione COSECANTE. Per essa vale la relazione:
ancora una volta ci troviamo di fronte al caso:
f(x) = -f (-x)
quindi ad una funzione DISPARI.
L'immagine sottostante ce lo conferma essendo il grafico della funzione cosecante simmetrico rispetto all'orgine degli assi:
Concludiamo con la funzione SECANTE. Per essa vale la relazione:
quindi ci troviamo nel caso:
f(x) = f (-x)
Pertanto la funzione secante è una funzione PARI.
Ce lo conferma anche il suo grafico:
Ricapitolando:
- SENO, TANGENTE, COTANGENTE, COSECANTE, sono funzioni DISPARI;
- COSENO e SECANTE sono funzioni PARI.
