m.c.d. DI FRAZIONI ALGEBRICHE
- Frazioni algebriche
- Campo di esistenza di una frazione algebrica
- Semplificazione di frazioni algebriche
- Scomposizione di un polinomio in fattori
- Scomposizione di un polinomio in fattori mediante i prodotti notevoli
- Multiplo di un numero
- Calcolo del minimo comune multiplo
- Minimo comune denominatore
In una delle lezioni precedenti abbiamo parlato di FRAZIONI ALGEBRICHE EQUIVALENTI, cioè di frazioni algebriche che, seppure scritte in modo diverso, assumono gli stessi valori numerici per qualsiasi valore attributo alle sue lettere con esclusione di quei valori per i quali la frazione perde di significato.
Ora, date due FRAZIONI ALGEBRICHE ci vogliamo porre l'obiettivo di scriverle sotto forma di altre due frazioni, EQUIVALENTI a quelle date, e aventi anche lo STESSO DENOMINATORE.
Immaginiamo di avere le seguenti frazioni algebriche:
Si procede in modo analogo a quanto visto per le frazioni.
Innanzitutto si SEMPLIFICANO le frazioni algebriche.
La prima frazione non può essere semplificata.
Nella seconda frazione possiamo mettere in evidenza, a denominatore b. Quindi il denominatore diventa
b (a - b).
Nella terza frazione possiamo mettere in evidenza la a. Quindi il denominatore diventa
a (a2 - b2).
In questo modo la a moltiplica il la differenza di due quadrati che può essere ulteriormente scomposta così:
a (a + b) (a - b).
Quindi, le nostre frazioni possono essere scritte nel modo seguente:
Affinché le nostre frazioni algebriche possano essere TRASFORMATE in altre EQUIVALENTI e aventi tutte lo STESSO DENOMINATORE è necessario che questo denominatore sia MULTIPLO di tutte e tre le frazioni algebriche date.
Noi sappiamo che i multipli di due o più numeri sono infiniti e che il più piccolo di essi è il minimo comune multiplo che si abbrevia con la sigla m.c.m.
Tra tutti i multipli comuni dei denominatori delle frazioni algebriche date scegliamo, allora, il più piccolo di essi in modo da rendere anche più semplici i calcoli.
Dobbiamo allora cercare il m.c.m. tra
2b;
b (a - b);
a (a + b) (a - b).
Ricordiamo che il m.c.m. si ottiene moltiplicando i FATTORI PRIMI COMUNI e NON COMUNI, ciascuno preso una sola volta, col MASSIMO ESPONENTE.
Quindi il minimo comune multiplo è:
2ab (a - b) (a + b).
Il denominatore comune alle frazioni date sarà, quindi, 2ab (a - b) (a + b). Questo è il nostro minimo comune denominatore (m.c.d.).
A questo punto sappiamo quale denominatore dovranno avere le tre frazioni algebriche e possiamo procedere come segue:
- DIVIDIAMO il DENOMINATORE COMUNE trovato per il DENOMINATORE della frazione algebrica;
- MOLTIPLICHIAMO l'espressione algebrica ottenuta per entrambi i TERMINI della frazione algebrica.
Tornando al nostro esempio, avremo:
[2ab (a - b) (a + b)]/ 2b = a (a - b) (a + b).
Quindi la prima frazione algebrica diventa:
La seconda frazione algebrica sarà:
[2ab (a - b) (a + b)]/ [b (a - b)] = 2a (a+b).
La terza frazione algebrica sarà:
[2ab (a - b) (a + b)]/ [a (a + b) (a - b)] = 2b.
Possiamo dire, quindi, che per RIDURRE più frazioni algebriche al MINIMO COMUNE DENOMINATORE, si procede nel modo seguente:
- se necessario si SEMPLIFICANO le frazioni algebriche;
- si trova il m.c.m. dei DENOMINATORI delle frazioni algebriche semplificate;
- per ciascuna frazione algebrica semplificata termini si procede come segue:
- si DIVIDE il m.c.m. trovato per il DENOMINATORE della frazione;
- si MOLTIPLICA il numero ottenuto per il NUMERATORE e il DENOMINATORE della frazione.
