SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN FATTORI MEDIANTE I PRODOTTI NOTEVOLI
- I polinomi
- Prodotti notevoli
- Somma di due monomi per la loro differenza
- Quadrato di un binomio
- Quadrato di un trinomio
- Quadrato di un polinomio con più di tre termini
- Cubo di un binomio
- Tabella dei prodotti notevoli
- Scomposizione di un polinomio in fattori
In una delle precedenti lezioni abbiamo visto come esistono alcuni PRODOTTI di POLINOMI che assumo FORME PARTICOLARI e che prendono il nome di PRODOTTI NOTEVOLI.
Essi possono essere utili, oltre che nel rendere più semplice l'esecuzione dei prodotti di polinomi, anche nella loro SCOMPOSIZIONE.
Parlando dei prodotti notevoli abbiamo appreso, ad esempio, che:
(a + b) (a - b) = a2 - b2.
Se, allora, ci troviamo di fronte al binomio
a2 - b2
sappiamo che esso può essere scomposto nel prodotto tra
(a + b) (a - b).
Vediamo, allora, quali sono le regole di SCOMPOSIZIONE di un POLINOMIO basate sui PRODOTTI NOTEVOLI e cerchiamo di comprendere come possiamo applicarle ricorrendo a degli esempi.
| POLINOMI | SCOMPOSIZIONE | ESEMPI |
|---|---|---|
| (a + b) (a - b) | a2 - b2 |
x2
- 4y2 =(x + 2y) (x - 2y)
a2 - x2 =(a + x) (a - x) 4a4 - 9= 4a4 - 32 =(2a2 + 3) (2a2 - 3) |
| (a + b)2 | a2 + b2 +2ab |
a2
+ 6a+ 9 = (a + 3)2
4a2 + 9 + 12a=(2a + 3)2 4x2 +2xy+ 1/4y2 =(2x + 1/2y)2 |
| (a - b)2 | a2 + b2 -2ab |
a2
+ 4- 4a=(a - 2)2
a2 - 2a + 1=(a -1)2 x6 - 2x3+ 1=(x3 -1)2 |
| (a + b + c)2 | a2 + b2 +c2 +2ab +2ac +2bc |
a2
+b2 +4c2 +2ab +4ac +4bc=
(a +b +2c)2
4x2
+1 +y2 -4x +4xy -2y=(2x -1 +y )2
4x4 +z4 +9y2 +4x2z2 +12x2y +6yz2 =(2x2 +z2 +3y)2 |
| (a + b)3 | a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 |
x3
+6x2 +12x+8 =(x +2)3
27a3 +27a2b+9ab2 +b3 = (3a +b)3 1 +x6 +3x2 +3x4 =(1 +x2)3 |
| (a - b)3 | a3 - b3 - 3a2b + 3ab2 |
8a3
-12a2 +6a-1 =(2a -1)3
1 -x3 -3x +3x2 =(1 - x)3 8a3 -4a2b +2/3ab2 -1/27b3 =(2a - 1/3b)3 |
| (a + b + c)3 | a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a +3c2b +6abc |
8x3
+27y3 +z3 +36x2y +12x2z
+54xy2 +27y2z +6xz2 +9yz2
+36xyz =(2x +3y +z)3 |
