RELAZIONI IN UN INSIEME
- Nozione di insieme
- Insieme vuoto
- Coppie ordinate
- Prodotto cartesiano di insiemi
- Prodotto cartesiano di un insieme per se stesso
- Relazione di un insieme A in un insieme B
- Relazione tra insiemi
- Rappresentazione grafica di una relazione
- Relazione tra insiemi: ulteriori considerazioni
- Grafico di una relazione
- Relazioni inverse
- Rappresentazione grafica di una relazione inversa
- Composizione di relazioni
- Proposizione matematica
Abbiamo appreso nelle lezioni precedenti che, dati due insiemi NON VUOTI Ae B ed una PROPOSIZIONE che riferita ad essi abbia un significato inequivocabile,se per OGNI COPPIA ORDINATA (a, b) con a appartenente ad A e b appartenente a B, sussiste uno ed uno solo dei seguenti fatti:
- a è ASSOCIATO a b mediante quella proposizione;
- a NON è ASSOCIATO a b mediante quella proposizione;
allora possiamo dire che vi è una RELAZIONE di A in B o anche una RELAZIONE tra A e B.
In simboli diremo:
Può verificarsi che
B = A.
In questo caso si dice che
è una
relazione di A in A
oppure una
relazione di A in se stesso
o ancora una
relazione in A.
Esempio:
consideriamo l'insieme A
A = {1, 2, 3, 6, 8}
e cerchiamo se vi sono degli elementi di tale insieme che soddisfano la
relazione "è il triplo di".
La nostra relazione è soddisfatta dalle COPPIE ORDINATE
(3, 1), (6, 2).
Tutte le altre coppie ordinate che possiamo formare prendendo sia la prima componente che la seconda in A non soddisfano tale relazione.
Nel nostro caso, quindi avremo:
Nelle precedenti lezioni abbiamo detto
che data una relazione
di un insieme A in un insieme B
essa è SOTTOINSIEME
del PRODOTTO
CARTESIANO di A
e B.
Inoltre, parlando del prodotto cartesiano abbiamo visto che
Quindi possiamo
dire che data una relazione
in un insieme A, avremo:
ovvero
G di erre è un sottoinsieme di A al quadrato.
Così come abbiamo detto parlando della relazione di un insieme A in un insieme B, anche nel caso della relazione tra gli elementi di uno stesso insieme, in alcuni casi, potrà accadere che:
G di erre è uguale all'insieme vuoto
o che
G di erre è uguale ad A al quadrato.
