FORMULE DI GEOMETRIA ANALITICA

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DISTANZA TRA DUE PUNTI:

• aventi la stessa ordinata

  A (x₁; y) B (x₂; y)
  AB = |x₂ - x₁|
  
  

• aventi la stessa ascissa

  A (x; y₁) B (x; y₂)
  AB = |y₂ - y₁|
  
  

• con ascissa e ordinata diverse
  
  

  A (x₁; y₁) B (x₂; y₂)
  
  
  
  

COORDINATE DEL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO:

• parallelo all'asse delle ascisse

  A (x₁; y) B (x₂; y)
  
  
  
  

• parallelo all'asse delle ordinate
  
  

  A (x; y₁) B (x; y₂)
  
  
  
  

• qualsiasi

  A (x₁; y₁) B (x₂; y₂)
  
  
  
  

PUNTI SIMMETRICI:

• rispetto all'asse delle y

  A₁ (x₁; y)      A₂ (-x₁; y)
  
  

• rispetto all'asse delle x
  
  

  A₁ (x; y₁)      A₂ (x; -y₁)
  
  

• rispetto all'origine degli assi
  
  

  A₁ (x₁; y₁)      A₂ (-x₁; -y₁)
  
  

TRASLAZIONE DEGLI ASSI:

Traslazione degli assi cartesiani

COORDINATE DI P SUL SISTEMA DI ASSI XO₁Y:

X = x - p
Y = y - q

COORDINATE DI P SUL SISTEMA DI ASSI xOY:

x = p + X
y = q + y

EQUAZIONE DELLA RETTA:

• passante per l'origine degli assi

  y = mx
  coefficiente angolare:   m
  
  

• bisettrice 1° e 3° quadrante

  y = x
  coefficiente angolare:   1

  
  
  
• bisettrice 2° e 4° quadrante

  y = -x
  coefficiente angolare:   -1

  
  
  
• non passante per l'origine degli assi
  • forma esplicita:

    y = mx + n
    coefficiente angolare:   m
    
    

  • forma implicita:

    ax + by + c = 0
    coefficiente angolare:   -a/b

  
  
  
• parallela all'asse delle x

  y = k
  coefficiente angolare:   m = 0
  
  

• parallela all'asse delle y

  x = k
  coefficiente angolare:   m non esiste
  
  

• asse delle x

  y = 0
  
  

• asse delle y

  x = 0
  
  

• passante per due punti

  (y - y₀)/ (y₁ - y₀) = (x - x₀)/ (x₁ - x₀)
  
  

FASCIO DI RETTE:

• passante per l'origine

  y = mx

• passante per un punto
  
  

  PUNTO:   P (x₀; y₀)
  

  EQUAZIONE: y - y₀ = m (x - x₀)
  a (x-x₀) + b (y-y₀) = 0

  
  
  

COEFFICIENTE ANGOLARE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

P₀ (x₀; y₀)
e
P₁ (x₁; y₁)

COEFFICIENTE ANGOLARE:

PUNTI DI INTERSEZIONE DI UNA RETTA CON GLI ASSI CARTESIANI

    A (0; n)
B (-n/m; 0)

DISTANZA DI UNA RETTA DALL'ORIGINE DEGLI ASSI

DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA

PARABOLA:

• Equazione della parabola con vertice nell'origine degli assi e asse di simmetria verticale

  y = ax²
  a > 0 concavità verso l'alto
  a < 0 concavità verso il basso
  
  

• Equazione della parabola con vertice nell'origine degli assi e asse di simmetria orizzontale

  x = ay²
  a > 0 concavità verso destra
  a < 0 concavità verso sinistra

• Equazione della parabola con asse di simmetria verticale

  y = ax² + bx + c
  a > 0 concavità verso l'alto
  a < 0 concavità verso il basso asse di simmetria: x = -b/2a
  
  
  
  
  

• Equazione della parabola con asse di simmetria orizzontale

  x = ay² + by + c
  a > 0 concavità verso destra
  a < 0 concavità verso sinistra
  
  
  

CIRCONFERENZA

• Equazione della circonferenza

  x² + y² + ax + by + c = 0

  (x - α)² + (y - β)² = 0

  Condizione perché l'equazione rappresenti una circonferenza:    α² + β² - c > 0
  

  Relazione tra a ed α, b e β, c ed r
  -2α = a
  -2β = b
  α² + β² - r² = c
  
  
  

• EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA CASI PARTICOLARI:

  • Equazione della circonferenza con centro sull'asse delle y:    x² + y² + by + c = 0
    
    
  • Equazione della circonferenza con centro sull'asse delle x:    x² + y² + ax + c = 0
    
    
  • Equazione della circonferenza passante per l'origine degli assi:    x² + y² + ax + by = 0
    
    
  • Equazione della circonferenza con centro sull'asse delle y e passante per l'origine degli assi:    x² + y² + by = 0
    
    
  • Equazione della circonferenza con centro sull'asse delle x e passante per l'origine degli assi:    x² + y² + ax = 0
    
    
  • Equazione della circonferenza con centro nell'origine degli assi    x² + y² - r² = 0
    
    
  
  
  
• Formula di sdoppiamento:     xx₀ + yy₀ + a(x + x₀)/2 + b(y + by₀)/2+ c = 0
  
  
• Asse radicale:    (a₁ - a₂)x + (b₁ - b₂)y + (c₁ - c₂) = 0
  
  
• Fascio di circonferenze:

  x² (1 + k)+ y² (1 + k)+ x (a₁ ka₂) + y (b₁ + kb₂)+ (c₁ + kc₂)= 0
  

  per k≠ -1
  
  
  

ELLISSE

• Equazione dell'ellisse con centro nell'origine degli assi e fuochi sull'asse delle x

  
  2a = asse maggiore
  2b = asse minore
  c² = a² - b²
  e = c/a
  Fuochi:   F₁ (c; 0)   F₂ (-c; 0)
  Vertici:    V₁ (a; 0)    V₂ (-a; 0)    V₃ (0; b)    V₄ (0; -b)
  
  
  

• Equazione dell'ellisse con centro nell'origine degli assi e fuochi sull'asse delle y

  
  2a = asse minore
  2b = asse maggiore
  c² = b² - a²
  Fuochi:    F₁ (0; c)    F₂ (0; -c)
  Vertici: V₁ (a; 0)    V₂ (-a; 0)    V₃ (0; b)    V₄ (0; -b)
  
  
  

• Equazione dell'ellisse traslata

  
  Centro:    P₀(x₀; y₀)
  
  

• Formula di sdoppiamento nell'ellisse

  
  con P₀(x₀; y₀) punto di tangenza
  
  

IPERBOLE

• Equazione dell'iperbole riferita ai suoi assi con fuochi sull'asse delle x

  
  Fuochi:    F₁ (-c; 0)    F₂ (c; 0)
  Vertici:    V₁ (-a; 0)    V₂ (a; 0)
  Vertici non reali:    V₃ (0; b)    V₄ (0; -b)
  Distanza focale:    F₁F₂ = 2c
  Asse traverso:    V₁V₂ = 2a
  Asse non traverso:    V₃V₄ = 2b
  Asintoti:    y = (b/a) x      y = (-b/a) x
  Eccentricità:    e = c/a
  Relazione tra a, b, c:    b² = c² - a²
  
  
  

• Equazione dell'iperbole riferita ai suoi assi con fuochi sull'asse delle y

  
  Fuochi:    F₁ (0; -c)    F₂ (0; c)
  Vertici:    V₁ (0; b)    V₂ (0; -b)
  Vertici non reali:    V₃ (a; 0)    V₄ (-a; 0)
  Distanza focale:    F₁F₂ = 2c
  Asse traverso:    V₁V₂ = 2b
  Asse non traverso:    V₃V₄ = 2a
  Asintoti:    y = (b/a) x    y = (-b/a) x
  Eccentricità:    e = c/a
  Relazione tra a, b, c    b² = c² - a²
  
  

• Formula di sdoppiamento nell'iperbole riferita ai suoi asintoti

  
  con P(x₀; y₀) punto di tangenza
  
  

• Equazione dell'iperbole traslata
  • con fuochi sull'asse parallelo all'asse delle x:

    
    Centro:    P₀(x₀; y₀)
    Fuochi:    F₁ (x₀-c; y₀)    F₂ (x₀+c; y₀)
    Vertici:    V₁ (x₀-a; y₀)    V₂ (x₀+a; y₀)
    Asintoti:    y = +(b/a) (x-x₀) + y₀      y = -(b/a) (x-x₀) + y₀
    
    

  • con fuochi sull'asse parallelo all'asse delle y:

    
    Centro:    P₀(x₀; y₀)
    Fuochi:    F₁ (x₀; y₀-c)    F₂ (x₀; y₀+c)
    Vertici:    V₁ (x₀; y₀-b)    F₂ (x₀; y₀+b)
    Asintoti: y = +(b/a) (x-x₀) + y₀      y = -(b/a) (x-x₀) + y₀
    
    
    

• Equazione dell'iperbole equilatera riferita agli assi
  • con fuochi sull'asse delle ascisse:

    x² - y² = a²
    Fuochi:    F₁ (-c; 0)    F₂ (c; 0)    con
    Vertici:    V₁ (-a; 0)    V₂ (a; 0)
    Vertici non reali:    V₃ (0; -a)    V₄ (0; a)
    Asintoti:    y = -x    y = x
    Eccentricità:   

    

  • con fuochi sull'asse delle ordinate:   

    x² - y² = -a²
    Fuochi:    F₁ (0; -c)    F₂ (0; c)
    con
    
    Vertici:    V₁ (0; -a)    V₂ (0; a)
    Vertici non reali:    V₃ (-a; 0)    V₄ (a; 0)
    Asintoti:    y = -x    y = x
    Eccentricità
    
    
    

• Equazione dell'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti
  • situata nel I e III quadrante

    xy = k
    con
    k = a²/2
    Fuochi:
    
    Vertici:
    
    Asintoti:    x = 0      y = 0
    
    
    

  • situata nel II e IV quadrante

    xy = -k
    con
    k = a²/2 Fuochi:
    
    Vertici:
    
    Asintoti:    x = 0      y = 0
    
    
    

• Equazione dell'iperbole omografica

  
  con
  c ≠ 0
  e
  ad ≠ bc
  Centro:    P₀ (-d/c; a/c)
  Fuochi:
  
  con
  
  Vertici:
  
  con
  
  Asintoti:    x = - d/c      y = a/c

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